DERIVACIÓN DE FUNCIONES
Una de las ideas básicas en Cálculo Matemático es el concepto de Derivada. Para introducir dicho
concepto se recurre generalmente a dos problemas: uno Físico, para calcular la velocidad instantánea de un móvil, y otro Geométrico, para determinar la pendiente de la recta
tangente a una curva en un punto cualquiera de ella. Los dos problemas conducen
al mismo cálculo: el límite de un cociente de incrementos cuando el denominador
tiende a cero. Puesto que, muchos problemas importantes dependen de la
determinación de la recta tangente a
la gráfica de una función en un punto específico, a continuación se introduce
el concepto analítico de la pendiente de recta tangente a una función en un
punto y luego el concepto de derivada de una función, derivadas laterales, teoremas sobre derivadas,
derivación implícita, derivadas de orden superior, etc.
Sea f una función que es continua en X1- Para definir la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto P(X1; f(X1)) consideremos un intervalo abierto I que
contiene a X1- Sea Q(X2;f(X2)) otro punto sobre la gráfica de f tal
que X2 esté contenido en I. La recta que pase por los
puntos P y Q se denomina recta secante.
IMAGINA: (figura 3) Tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba.
Dispones de unos tablones que irás poniendo de peldaño a peldaño para poder
desplazar tu carro.
Fíjate en ellos, observa la figura 3
¿Qué constatas con relación a su inclinación?
Tendrás que hacer mucho esfuerzo al
inicio para desplazar tu carro y menos al final en el último tramo. La
pendiente, aunque subas todo el tiempo, es más elevada al inicio que al final.
Si establecemos el ángulo entre el
tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ángulo se va reduciendo a
medida que vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el
coeficiente director de la pendiente va reduciéndose.
Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8,
y 9 (el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente director de ¼ ya
que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera)
para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera) . La pendiente es la
división de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades),
es decir la pendiente es de 1/4= 0,25 (es lo que se llama el coeficiente
director de la recta). La pendiente del tablero amarillo, es de 0,2, ya que hay
que recorrer 5 para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de
una unidad se subiese 10 unidades ¿Cuál sería la pendiente en este caso?
La pendiente en ese caso sería de
10/5= 2.
La derivada nos muestra la evolución
de la inclinación de los tablones a lo largo del trayecto.
EJERCICIO
DERIVADAS Y SU APLICACIÓN EN ARQUITECTURA
Las derivadas están siempre presentes. Se utiliza en
arquitectura. En el campo de las construcciones, los arquitectos, ingenieros y
profesionales de estas áreas usualmente emplean las derivadas para determinar
el límite en superficies irregulares; áreas y volúmenes de regiones y sólidos
de revolución es decir de cilindros, conos, etc.
Un claro ejemplo de un diseño arquitectónico en
donde se utiliza las derivadas, es el restaurante
“Los Manantiales” de Félix Candela en la ciudad de México.
¿Para qué sirve entonces la derivada? La derivada
permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o
el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí
donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos por
ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la
pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En física, electricidad,
electrónica, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos asociados como la
velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones.
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